Задача 1.

Дано: Треугольник ABC; AL, BM, CK - медианы

AL=CK=10, BM=16

О - точка пересечения медиан.

Рассмотрим треугольники AOK и COL. В точке пересечения медианы делятся в соотношении 2:1, считая от вершины. А так как по условию  AL=CK, то получаем AO=CO и OL=OK

Углы AOK и COL равны как вертикальные. Следовательно, треугольники AOK и COL равны.

AK=LC=KB=LB, значит, ABC - равнобедренный и медиана BM - высота.

Длина стороны треугольника выражается формулой a=2/3√(2*(m_b²+m_c²)-m_a²), где m_a, m_b, m_c - медианы, проведенные к сторонам a, b, c.

В нашем случае: AC=2/3√(2*(AL²+CK²)-BM²)= 2/3√(2*(10²+10²)- 16²)=8

S_ABC=1/2*AC*BM=1/2*8*16=64